“Bagaimana cara belajar matematika yang benar?”
“Belajar matematika adalah belajar hidup. Matematika adalah jalan hidup.”
Trachtenberg mempertaruhkan jiwanya menentang Hitler. Trachtenberg,
setelah menyelami prinsip-prinsip matematika, menyimpulkan bahwa prinsip
kehidupan adalah keharmonisan. Peperangan yang terus berkobar, menyulut
kebencian tidak sesuai dengan prinsip-prinsip matematika. Matematika
adalah keindahan.
Atas penentangannya ini, Hitler menghadiahi Trachtenberg hukuman
penjara. Bagi Trachtenberg, perjara bukan apa-apa. Di dalam penjara, dia
justru memiliki kesempatan memikirkan matematika tanpa banyak gangguan.
Karena sulit mendapatkan alat tulis-menulis, Trachtenberg mengembangkan
pendekatan matematika yang berbasis mental-imajinasi.
Seribu tahun sebelum itu, AlKhawaritzmi mengembangkan disiplin
matematika baru: aljabar. AlKharitzmi beruntung hidup dalam lingkungan
agama Islam yang kuat. Ajaran Islam, secara inheren, menuntut
keterampilan matematika tingkat tinggi. Misalnya, Islam menetapkan
aturan pembagian waris yang detil. Pembagian waris sistem Islam
melibatkan banyak variabel matematis. Variabel-variabel yang beragam ini
menantang penganut Islam – termasuk AlKhawaritzmi – untuk mencari
pemecahan yang elegan.
Pemecahan terhadap sistem persamaan yang melibatkan banyak variabel
ini membawa ke arah disiplin baru matematika: aljabar. AlKhawaritzmi
menulis buku khusus tentang aljabar yang sangat fenomenal. Buku yang
berjudul Aljabar ini menjadi panutan bagi matematikawan seluruh dunia.
Sehingga nama AlKhawaritzmi menjadi dikenal sebagai Aljabar
AlKhawaritzmi (Algebra Algorithm).
Sistem kalender Islam yang berbasis pada komariah (bulan, lunar)
memberikan tantangan tersendiri. Penetapan awal bulan menjadi krusial di
dalam Islam. Berbeda dengan kalender syamsiah (matahari, solar). Dalam
kalender syamsiah, kita tidak begitu sensitif apa berbedaan tanggal 1
Juni dengan 2 Juni. Tetapi pada sistem komariah, perbedaan 1 Ramadhan
denga 2 Ramadhan berdampak besar.
Itulah sebabnya, astronomi Islam dapat maju lebih awal. Astronomi
memicu lebih berkembangnya teori trigonometri. Aturan sinus, cosinus,
dan kawan-kawan berkembang pesat di tangan para astronom Islam waktu
itu.
Ajaran agama Islam adalah jalan hidup. Untuk bisa melaksanakan ajaran
Islam diperlukan matematika. Matematika menjadi jalan hidup.
Sehebat itukah peran matematika?
Haruskah kita mengambil matematika sebagai jalan hidup?
Tidak selalu! Tidak semua orang perlu mengambil matematika sebagai
jalan hidup. Tidak harus semua orang meniru AlKhawaritzmi dan
Trachtenberg.
Beberapa orang belajar matematika hanya untuk kesenangan. Beberapa
orang yang lain belajar karena kewajiban. Ada pula yang belajar
matematika agar naik jabatan. Ada juga agar lulus UN, SPMB, UMPTN. Ada
juga untuk menjadi juara.
Masing-masing tujuan, berimplikasi kepada cara belajar matematika
yang berbeda. Misalnya bila Anda belajar matematika untuk kepentingan
lulus UN, SPMB, UMPTN 2008 akan berbeda dengan belajar untuk memenangkan
olimpiade matematika.
Matematika UN, SPMB, UMPTN 2008 hanya menerapkan soal pilihan ganda.
Implikasinya Anda hanya dinilai dari jawaban akhir Anda. Proses Anda
menemukan jawaban itu tidak penting. Jadi Anda harus memilih siasat yang
cepat dan tepat.
Gunakan berbagai macam rumus cepat dalam matematika. Rumus cepat
ampuh Anda gunakan untuk UN, SPMB, UMPTN. Tetapi rumus cepat matematika
tidak akan berguna untuk olimpiade atau kuliah kalkulus kelak di
perguruan tinggi. Anda harus sadar itu.
Contoh rumus cepat matematika yang sering (hampir selalu) berguna ketika UN, SPMB, UMPTN adalah rumus tentang deret aritmetika.
Contoh soal:
Jumlah n suku pertama dari suatu deret adalah Sn = 3n^2 + n. Maka suku ke-11 dari deret tersebut adalah…
Tentu ada banyak cara untuk menyelesaikan soal ini.
Cara pertama, tentukan dulu rumus Un kemudian hitung U11. Cara ini
cukup panjang. Tetapi bagus Anda coba untuk meningkatkan keterampilan
dan pemahaman konsep deret. Rumus Un dapat kita peroleh dari selisih Sn
– S(n-1) .
Cara kedua, sedikit lebih cerdik dari cara pertama. Kita tidak perlu
menentukan rumus Un. Karena kita memang tidak ditanya rumus tersebut.
Kita langsung menghitung U11 dengan cara menghitung selisih
S11 – S10 = U11
[3(11^2) + 11] – [3(10^2) + 10]
= 3.121 – 3.100 + 11 – 10
= 3.21 + 1
= 64
Cara ketiga, adalah rumus matematika paling cepat dari kedua rumus di
atas. Tetapi sebelum menerapkan cara ketiga, kita harus memahami
konsepnya terlebih dahulu dengan baik.
Are you ready?
Bentuk baku dari n suku pertama deret aritmetika adalah
Sn = (b/2)n^2 + k.n
Un = b(n-1) + a
a = S1 = U1
Anda harus pahami konsep di atas dengan baik. Cobalah untuk beberapa
soal yang berbeda-beda. Tanpa pemahaman konsep yang baik, rumus cepat
ini akan berubah menjadi rumus berat.
Dengan hanya melihat soal (tanpa menghitung di kertas) bahwa
Sn = 3n^2 + n
Kita peroleh
b = 6 (dari 3 x 2)
a = 4 (dari S1 = 3 + 1)
U11 = 6.10 + 4 = 64 (Selesai)
Semua perhitungan di atas dapat kita lakukan tanpa menggunakan alat
tulis. Semua kita lakukan hanya dalam imajinasi kita. Ulangi beberapa
kali. Anda pasti akan menguasainya dengan baik.
Trik untuk menguasai rumus cepat matematika adalah kuasai pula rumus
standarnya – rumus biasanya. Dengan menguasai dua cara ini Anda akan
semakin terampil menggunakan rumus cepat matematika.
Bagaimana pendapat Anda?
Salam hangat….Selamat berjuang Kawan!
1. Mesopotamia
- Menentukan system bilangan pertama kali
- Menemukan system berat dan ukur
- Tahun 2500 SM system desimal tidak lagi digunakan dan lidi diganti oleh notasi berbentuk baji
2. Babilonia- Menggunakan sitem desimal dan π=3,125
- Penemu kalkulator pertama kali
- Mengenal geometri sebagai basis perhitungan astronomi
- Menggunakan pendekatan untuk akar kuadrat
- Geometrinya bersifat aljabaris
- Aritmatika tumbuh dan berkembang baik menjadi aljabar retoris yang berkembang
- Sudah mengenal teorema Pythagoras
3. Mesir Kuno- Sudah mengenal rumus untuk menghitung luas dan isi
- Mengenal system bilangan dan symbol pada tahun 3100 SM
-Mengenal tripel Pythagoras
- Sitem angka bercorak aditif dan aritmatika
- Tahun 300 SM menggunakan system bilangan berbasis 10
4. Yunani Kuno- Pythagoras membuktikan teorema Pythagoras secara matematis (terbaik)
- Pencetus awal konsep[ nol adalah Al Khwarizmi
- Archimedes mencetuskan nama parabola, yang artinya bagian sudut kanan kerucut
- Hipassus penemu bilangan irrasional
-
Diophantus penemu aritmatika (pembahasan teori-teori bilangan yang
isinya merupakan pengembangan aljabar yang dilakukan dengan membuat
sebuah persamaan)
- Archimedes membuat geometri bidang datar
- Mengenal bilangan prima
5. India- Brahmagyupta lahir pada 598-660 Ad
- Aryabtha (4018 SM) menemukan hubungan keliling sebuah lingkaran
- Memperkenalkan pemakaian nol dan desimal
- Brahmagyupta menemukan bilangan negatif
- Rumus a2+b2+c2 telah ada pada “Sulbasutra”
- Geometrinya sudah mengenal tripel Pythagoras,teorema Pythagoras,transformasi dan segitiga pascal
6. China- Mengenal sifat-sifat segitiga siku-siku tahun 3000 SM
- Mengembangkan angka negatif, bilangan desimal, system desimal, system biner, aljabar, geometri, trigonometri dan kalkulus
- Telah menemukan metode untuk memecahkan beberapa jenis persamaan yaitu persamaan kuadrat, kubikdan qualitik
- Aljabarnya menggunakan system horner untuk menyelesaikan persamaan kuadrat
Tokoh-Tokoh1. Thales (624-550 SM)Dapat disebut matematikawan pertama yang merumuskan teorema atau proposisi, dimana tradisi ini menjadi lebih jelas setelah dijabarkan oleh Euclid. Landasan matematika sebagai ilmu terapan rupanya sudah diletakan oleh Thales sebelum muncul Pythagoras yang membuat bilangan.2. Pythagoras (582-496 SM)Pythagoras adalah orang yang pertama kali mencetuskan aksioma-aksioma, postulat-postulat yang perlu dijabarkan ter lebih dahulu dalam mengembangkan geometri. Pythagoras bukan orang yang menemukan suatu teorema Pythagoras namun dia berhasil membuat pembuktian matematis. Persaudaraan Pythagoras menemukan 2 sebagai bilangan irrasional.3. Socrates (427-347 SM)Ia merupakan seorang filosofi besar dari Yunani. Dia juga menjadi pencipta ajaran serba cita, karena itu filosofinya dinamakan idealisme. Ajarannya lahir karena pergaulannya dengan kaum sofis. Plato merupakan ahli piker pertama yang menerima paham adanya alam bukan benda.4. Ecluides (325-265 SM)Euklides disebut sebagai “Bapak Geometri” karena menemuka teori bilangan dan geometri. Subyek-subyek yang dibahas adalah bentuk-bentuk, teorema Pythagoras, persamaan dalam aljabar, lingkaran, tangen,geometri ruang, teori proporsi dan lain-lain. Alat-alat temuan Eukluides antara lain mistar dan jangka.5. Archimedes (287-212 SM)Dia mengaplikasikan prinsip fisika dan matematika. Dan juga menemukan perhitungan π (pi) dalam menghitung luas lingkaran. Ia adalah ahli matematika terbesar sepanjang zaman dan di zaman kuno. Tiga kaaarya Archimedes membahas geometri bidang datar, yaitu pengukuran lingkaran, kuadratur dari parabola dan spiral.6. Appolonius (262-190 SM)Konsepnya mengenai parabola, hiperbola, dan elips banyak memberi sumbangan bagi astronomi modern. Ia merupakan seorang matematikawan tang ahli dalam geometri. Teorema Appolonius menghubungkan beberapa unsur dalam segitiga.7. Diophantus (250-200 SM)Ia merupakan “Bapak Aljabar” bagi Babilonia yang mengembangkan konsep-konsep aljabar Babilonia. Seorang matematikawan Yunani yang bermukim di Iskandaria. Karya besar Diophantus berupa buku aritmatika, buku karangan pertama tentang system aljabar. Bagian yang terpelihara dari aritmatika Diophantus berisi pemecahan kira-kira 130 soal yang menghasilkan persamaan-persamaan tingkat pertama.
Di
abad ke-17 Swiss punya seorang matematikus dan ahli fisika
yang teramat brilian dan ilmuwan terkemuka sepanjang masa.
Orang itu Leonhard Euler. Hasil karyanya mempengaruhi
penggunaan semua bidang fisika dan di banyak bidang
rekayasa.
Hasil matematika dan ilmiah Euler betul-betul tak masuk
akal. Dia menulis 32 buku lengkap, banyak diantaranya
terdiri dari dua jilid, beratus-ratus artikel tentang
matematika dan ilmu pengetahuan. Orang bilang, kumpulan
tulisan-tulisan ilmiahnya terdiri dari lebih 70 jilid!
Kegeniusan Euler memperkaya hampir segala segi matematika
murni maupun matematika siap pakai, dan sumbangannya
terhadap matematika fisika hampir tak ada batasnya untuk
penggunaan.
Euler khusus ahli mendemonstrasikan bagaimana hukum-hukum
umum mekanika, yang telah dirumuskan di abad sebelumnya oleh
Isaac Newton, dapat digunakan dalam jenis situasi fisika
tertentu yang terjadi berulang kali. Misalnya, dengan
menggunakan hukum Newton dalam hal gerak cairan, Euler
sanggup mengembangkan persamaan hydrodinamika. Juga, melalui
analisa yang cermat tentang kemungkinan gerak dari barang
yang kekar, dan dengan penggunaan prinsip-prinsip Newton.
Dan Euler berkemampuan mengembangkan sejumlah pendapat yang
sepenuhnya menentukan gerak dari barang kekar. Dalam
praktek, tentu saja, obyek benda tidak selamanya mesti
kekar. Karena itu, Euler juga membuat sumbangan penting
tentang teori elastisitas yang menjabarkan bagaimana benda
padat dapat berubah bentuk lewat penggunaan tenaga luar.
Euler juga menggunakan bakatnya dalam hal analisa
matematika tentang permasalahan astronomi, khusus menyangkut
soal "tiga-badan" yang berkaitan dengan masalah bagaimana
matahari, bumi, dan bulan bergerak di bawah gaya berat
mereka masing-masing yang sama. Masalah ini --suatu masalah
yang jadi pemikiran untuk abad ke-21-- belum sepenuhnya
terpecahkan. Kebetulan, Euler satu-satunya ilmuwan terkemuka
dari abad ke-18 yang (secara tepat, seperti belakangan
terbukti) mendukung teori gelombang cahaya.
Buah pikiran Euler yang berhamburan tak hentinya itu
sering menghasilkan titik tolak buat penemuan matematika
yang bisa membuat seseorang masyhur. Misalnya, Joseph Louis
Lagrange, ahli fisika matematika Perancis, berhasil
merumuskan serentetan rumus ("rumus Lagrange") yang punya
makna teoritis penting dan dapat digunakan memecahkan
pelbagai masalah mekanika. Rumus dasarnya diketemukan oleh
Euler, karena itu sering disebut rumus Euler-Lagrange.
Matematikus Perancis lainnya, Jean Baptiste Fourier, umumnya
dianggap berjasa dengan penemuan teknik matematikanya,
terkenal dengan julukan analisa Fourier. Di sini pun, rumus
dasarnya pertama diketemukan oleh Leonhard Euler, dan
dikenal dengan julukan formula Euler- Fourier. Mereka
menemukan penggunaan yang luas dan beraneka macam di bidang
fisika, termasuk akustik dan teori elektromagnetik.
Dalam urusan matematika, Euler khusus tertarik di bidang
kalkulus, rumus diferensial, dan ketidakterbatasan suatu
jumlah. Sumbangannya dalam bidang ini, kendati amat penting,
terlampau teknis dipaparkan di sini. Sumbangannya di bidang
variasi kalkulus dan terhadap teori tentang kekompleksan
jumlah merupakan dasar dari semua perkembangan berikutnya di
bidang ini. Kedua topik itu punya jangkauan luas dalam
bidang penggunaan kerja praktek ilmiah, sebagai tambahan
arti penting di bidang matematika murni.
Formula Euler, , menunjukkan adanya hubungan antara
fungsi trigonometrik dan jumlah imaginer, dan dapat
digunakan menemukan logaritma tentang jumlah negatif. Ini
merupakan satu dari formula yang paling luas digunakan dalam
semua bidang matematika. Euler juga menulis sebuah textbook
tentang geometri analitis dan membuat sumbangan penting
dalam bidang geometri diferensial dan geometri biasa.
Kendati Euler punya kesanggupan yang hebat untuk
penemuan-penemuan matematika yang memungkinkannya melakukan
praktek-praktek ilmiah, dia hampir punya kelebihan setara
dalam bidang matematika murni. Malangnya, sumbangannya yang
begitu banyak di bidang teori jumlah, tetapi tidak begitu
banyak yang bisa dipaparkan di sini. Euler juga orang pemula
yang bekerja di bidang topologi, sebuah cabang matematika
yang punya arti penting di abad ke-20.
Akhirnya, Euler memberi sumbangan penting buat sistem
lambang jumlah matematik masa kini. Misalnya, dia
bertanggung jawab untuk penggunaan umum huruf Yunani untuk
menerangkan rasio antara keliling lingkaran terhadap
diameternya. Dia juga memperkenalkan banyak sistem tanda
yang cocok yang kini umum dipakai di bidang matematika.
Euler lahir tahun 1707 di Basel, Swiss. Dia diterima
masuk Universitas Basel tahun 1720 tatkala umurnya baru
mencapai tiga belas tahun. Mula-mula dia belajar teologi,
tetapi segera pindah ke mata pelajaran matematika. Dia
peroleh gelar sarjana dari Universitas Basel pada umur tujuh
belas tahun dan tatkala umurnya baru dua puluh tahun dia
terima undangan dari Catherine I dari Rusia untuk bergabung
dalam Akademi Ilmu Pengetahuan di St. Petersburg. Di umur
dua puluh tiga tahun dia jadi mahaguru fisika di sana dan
ketika umurnya dua puluh enam tahun dia menggantikan korsi
ketua matematika yang tadinya diduduki oleh seorang
matematikus masyhur Daniel Bernoulli. Dua tahun kemudian
penglihatan matanya hilang sebelah, namun dia meneruskan
kerja dengan kapasitas penuh, menghasilkan artikel-artikel
yang brilian.
Tahun 1741 Frederick Yang Agung dari Prusia membujuk
Euler agar meninggalkan Rusia dan memintanya bergabung ke
dalam Akademi Ilmu Pengetahuan di Berlin. Dia tinggal di
Berlin selama dua puluh lima tahun dan kembali ke Rusia
tahun 1766. Tak lama sesudah itu kedua matanya tak bisa
melihat lagi. Bahkan dalam keadaan tertimpa musibah macam
ini, tidaklah menghentikan penyelidikannya. Euler memiliki
kemampuan spektakuler dalam hal mental aritmatika, dan
hingga dia tutup usia (tahun 1783 di St. Petersburg --kini
bernama Leningrad-- pada umur tujuh puluh enam tahun), dia
terus mengeluarkan kertas kerja kelas tinggi di bidang
matematika. Euler kawin dua kali dan punya tiga belas anak,
delapan diantaranya mati muda.
Semua penemuan Euler bisa saja dibuat orang bahkan
andaikata dia tidak pernah hidup di dunia ini. Meskipun saya
pikir, kriteria yang layak digunakan dalam masalah ini
adalah mengajukan pertanyaan-pertanyaan: apa yang akan
terjadi pada dunia modern apabila dia tidak pernah berbuat
apa-apa? Dalam kaitan dengan Leonhard Euler jawabnya tampak
jelas sekali: pengetahuan modern dan teknologi akan jauh
tertinggal di belakang, hampir tak terbayangkan, tanpa
adanya formula Euler, rumus-rumusnya, dan metodenya. Sekilas
pandangan melirik indeks textbook matematika dan fisika akan
menunjukkan penjelasan-penjelasan ini sudut Euler (gerak
benda keras); kemantapan Euler (deret tak terbatas);
keseimbangan Euler (hydrodinamika); keseimbangan gerak Euler
(dinamika benda keras); formula Euler (variabel kompleks);
penjumlahan Euler (rentetan tak ada batasnya), curve
polygonal Eurel (keseimbangan diferensial); pendapat Euler
tentang keragaman fungsi (keseimbangan diferensial
sebagian); transformasi Euler (rentetan tak terbatas); hukum
Bernoulli-Euler (teori elastisitis); formula Euler-Fourier
(rangkaian trigonometris); keseimbangan Euler-Lagrange
(variasi kalkulus, mekanika); dan formula Euler-Maclaurin
(metode penjumlahan) itu semua menyangkut sebagian yang
penting-penting saja.
Dari sudut ini, pembaca mungkin bertanya-tanya kenapa
Euler tidak dapat tempat lebih tinggi dalam daftar urutan
buku ini. Alasan utama ialah, meskipun dia dengan brilian
dan sukses menunjukkan betapa hukum-hukum Newton dapat
diterapkan, Euler tak pernah menemukan prinsip-prinsip
ilmiah sendiri. Itu sebabnya mengapa tokoh-tokoh seperti
Becquerel, Rontgen, dan Gregor Mendel, yang masing-masing
menemukan dasar baru fenomena dan prinsip ilmiah,
ditempatkan di urutan lebih atas ketimbang Euler. Tetapi,
bagaimanapun juga, sumbangan Euler terhadap, dunia ilmu,
terhadap bidang rekayasa dan matematika, bukan alang
kepalang besarnya.